조금씩 알아가기

'전수조사'를 해봤습니다. 원래의 몬티홀 문제로 돌아갑니다.

 

ABC 세개의 문이 있고, 세개의 문 뒤에는 어느 하나에 자동차가 있습니다. '갑'이 먼저 하나의 문을 선택하고,  사회자가 '갑'이  선택하지 않은 문을 하나를 열어보인 다음, '갑'에게 옮겨갈 지 여부를 묻는 문제입니다.

 

먼저 사회자가 어떤 것이 꽝인지를 모르고 임의로 한개의 문을 여는 상황입니다.

 

일반성을 잃지 않고(without loss of generality: 오랜만에 써보는 유식한 말), '갑'이 A를 선택한 걸로 가정합니다. 차는 A/B/C 어느 문 하나의 뒤에 있는 것이 틀림없고(3가지 경우의 수) 사회자는 B/C 중에서 하나를 '임의로' 선택해서 문을 엽니다(2가지 경우의 수). 따라서 모든 경우의 수는 아래 그림과 같이  3X2= 6가지입니다.

 

노랗게 색칠된 박스가 닫힌 문이고 하얀색 박스가 사회자가 '임의로' 선택해 열린 문입니다. 문 뒤에 자동차가 숨겨져 있는 박스에는 차라고 쓰여있습니다. A를 선택한 '갑'은 사회자가 B/C중에 '임의로' 선택해서 하나의 문을 연 다음, 열리지 않은 문으로 옮겨갑니다.

 

아래에서 보시는 바와 같이, 모두 여섯가지 경우에서 두개는 하필 자동차가 있는 문이 열려 문제가 성립하지 않고, 두개는 성공, 두개는 실패합니다. 즉 성공확률=실패확률=1/2로 사회자가 정답을 모르는 상태에서 문을 열어주는 것은 '정보효과'가 없는 것으로 나타납니다.     

 

 

이제 그림에서 사회자가 정답을 알고 B/C중에 '꽝'인 것을 선택해서 문을 열어주는 경우를 생각해 봅시다. '갑'은 B/C중에 사회자가 선택하지 않는 문을 택해 옮겨갑니다. 여섯개의 경우에서 자동차가 A 뒤에 숨어있는 처음 두개의 경우를 제외하고 나머지 4개의 경우에서 '갑'은 자동차를 갖게 됩니다.  즉 성공확률= 4/6 = 2/3입니다.

 

이로써 몬티홀 문제에서 '갑'이 옮겨감으로써 성공확률을 높이는 것은 사회자가 '꽝'인 문을 알고, 그걸 선택해서 문을 열어줬기 때문임이 증명되었습니다. 그냥 단순히 문을 열어주는 것만으로는 '정보효과'가 없습니다.

(스켑렙 07.01.30)